Question

积分题 求解答过程

b是实数

Answer 1

考虑更一般情形∫x*e^ax*sinbxdx
由分步积分得∫e^ax*sinbxdx=(1\a)e^ax*sinbx-(b\a)∫e^ax*cosbxdx
=(1\a)e^ax*sinbx-(b\a^2)e^ax*cosbx-(b\a)^2∫e^ax*sinbxdx
∫e^ax*sinbxdx=(asinbx-bcosbx)e^ax\(a^2+b^2)+C
同理∫e^ax*cosbxdx=(bsinbx+acosbx)e^ax\(a^2+b^2)+C
∴∫x*e^ax*sinbxdx=x*(asinbx-bcosbx)e^ax\(a^2+b^2)
-∫(asinbx-bcosbx)e^ax\(a^2+b^2)dx
=x*(asinbx-bcosbx)e^ax\(a^2+b^2)
-a\(a^2+b^2)[(asinbx-bcosbx)e^ax\(a^2+b^2)]
+b\(a^2+b^2)[(bsinbx+acosbx)e^ax\(a^2+b^2)]+C
=x*(asinbx-bcosbx)e^ax\(a^2+b^2)+
[2abcosbx+(b^2-a^2)sinbx]e^ax\(a^2+b^2)^2+C
因此该题可用分步积分
望采纳~~