Question

如图，已知直线y=4-x与反比例函数y= m x （m＞0，x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴，y轴分别

如图，已知直线y=4-x与反比例函数y= m x （m＞0，x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴，y轴分别相交于C，D两点．（1）如果点A的横坐标为1，利用函数图象求关于x的不等式4-x＜ m x 的解集；（2）是否存在以AB为直径的圆经过点P（1，0）？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）将x=1代入直线y=4-x得，y=4-1=3， 则A点坐标为（1，3）， 将A（1，3）代入y= m x （m＞0，x＞0）得， m=3， 则反比例函数解析式为y= 3 x ， 组成方程组得 y= 3 x y=4-x ， 解得，y=1，x=3，则B点坐标为（3，1）． 当不等式4-x＜ m x 时，0＜x＜1或x＞3． （2）存在． 点A、B在直线y=4-x上，则可设A（a，4-a），B（b，4-b）． 如右图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，则AD=4-a，PD=1-a； 过点B作BE⊥x轴于点E，则BE=4-b，PE=b-1． ∵点P在以AB为直径的圆上， ∴∠APB=90°（圆周角定理）． 易证Rt△ADP ∽ Rt△PEB， ∴ AD PE = PD BE ，即 4-a b-1 = 1-a 4-b ， 整理得：5（a+b）-2ab=17 ① ∵点A、B在双曲线y= m x 上， ∴a（4-a）=m，b（4-b）=m， ∴a 2 -4a+m=0，b 2 -4b+m=0， ∴a、b是一元二次方程x 2 -4x+m=0的两个根， ∴a+b=4，ab=m． 代入①式得：5×4-2m=17， 解得：m= 3 2 ． ∴存在以AB为直径的圆经过点P（1，0），此时m= 3 2 ．