Question

在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 cosC cosB = 3a-c b ，又b=

在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 cosC cosB = 3a-c b ，又b= 3 ，则△ABC的面积的最大值______．

Answer 1

根据正弦定理得： 3sinA-sinC sinB = 3a-c b ， 又 cosC cosB = 3a-c b ， ∴ cosC cosB = 3sinA-sinC sinB ，即sinBcosC=3sinAcosB-cosBsinC， 整理得：sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB， 又A+B+C=π，即B+C=π-A，∴sin（B+C）=sin（π-A）=sinA， ∴sinA=3sinAcosB，又sinA≠0， ∴cosB= 1 3 ，又B为三角形的内角， ∴sinB= 1- cos 2 B = 2 2 3 ， ∵b= 3 ，cosB= 1 3 ， ∴根据余弦定理得：b 2 =a 2 +c 2 -2accosB，即3=a 2 +c 2 - 2 3 ac， 又a 2 +c 2 ≥2ac，即3+ 2 3 ac≥2ac， ∴ac≤ 9 4 ，即ac的最大值为 9 4 ， 则△ABC的面积的最大值S= 1 2 acsinB= 1 2 × 9 4 × 2 2 3 = 3 2 4 ． 故答案为： 3 2 4