Question

已知函数f（x）=ax 2 +bx-lnx（a，b∈R）（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间（Ⅱ） 设a＞0，且对于任意x＞

已知函数f（x）=ax 2 +bx-lnx（a，b∈R）（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间（Ⅱ） 设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与-2b的大小．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=ax 2 +bx-lnx（a，b∈R） 知f′（x）=2ax+b- 1 x 又a≥0， 故当a=0时，f′（x）= bx-1 x 若b=0时，由x＞0得，f′（x）＜0恒成立，故函数的单调递减区间是（0，+∞）；若b＞0，令f′（x）＜0可得x＜ 1 b ，即函数在（0， 1 b ）上是减函数，在（ 1 b ，+∞）上是增函数、 所以函数的单调递减区间是（0， 1 b ），单调递增区间是（ 1 b ，+∞）， 当a＞0时，令f′（x）=0，得2ax 2 +bx-1=0 由于△=b 2 +8a＞0，故有 x 2 = -b+ b 2 +8a 4a ，x 1 = -b- b 2 +8a 4a 显然有x 1 ＜0，x 2 ＞0， 故在区间（0， -b+ b 2 +8a 4a ）上，导数小于0，函数是减函数；在在区间（ -b+ b 2 +8a 4a ，+∞）上，导数大于0，函数是增函数 综上，当a=0，b≤0时，函数的单调递减区间是（0，+∞）；当a=0，b＞0时，函数的单调递减区间是（0， 1 b ），单调递增区间是（ 1 b ，+∞）；当a＞0，函数的单调递减区间是（0， -b+ b 2 +8a 4a ），单调递增区间是（ -b+ b 2 +8a 4a ，+∞） （II）由题意，函数f（x）在x=1处取到最小值， 由（1）知， -b+ b 2 +8a 4a 是函数的唯一极小值点故 -b+ b 2 +8a 4a =1 整理得2a+b=1，即b=1-2a 令g（x）=2-4x+lnx，则g′（x）= 1-4x x 令g′（x）= 1-4x x =0得x= 1 4 当0＜x＜ 1 4 时，g′（x）＞0，函数单调递增； 当 1 4 ＜x＜+∞时，g′（x）＜0，函数单调递减 因为g（x）≤g（ 1 4 ）=1-ln4＜0 故g（a）＜0，即2-4a+lna=2b+lna＜0，即lna＜-2b