Question

设a为实数，函数f（x）=x 2 +|x-a|+1，x∈R， （Ⅰ）讨论f（x）的奇偶性；（Ⅱ）求f（x）的最小值。

设a为实数，函数f（x）=x 2 +|x-a|+1，x∈R， （Ⅰ）讨论f（x）的奇偶性；（Ⅱ）求f（x）的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=0时，函数 ，此时f（x）为偶函数； 当a≠0时， ， ， 此时函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数。 （Ⅱ）（ⅰ）当x≤a时，函数 ， 若 ，则函数f（x）在(-∞，a]上单调递减， 从而，函数f（x）在(-∞，a]上的最小值为 ； 若 ，则函数f（x）在(-∞，a]上的最小值为 ； （ⅱ）当x≥a时，函数 ； 若 ，则函数f（x）在[a，+∞)上的最小值为 ； 若 ，则函数f（x）在[a，+∞)上单调递增， 从而，函数f（x）在[a，+∞)上的最小值为 ； 综上，当 时，函数f（x）的最小值是 ；当 时，函数f（x）的最小值是 ；当 时，函数f（x）的最小值是 。