设函数f（x）=lnx+x2-2ax+a2，a∈R．（I）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（II）若函数f（x）在
设函数f（x）=lnx+x2-2ax+a2，a∈R．（I）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（II）若函数f（x）在[12，2]上存在单调递增区间，求实数a...
设函数f（x）=lnx+x2-2ax+a2，a∈R．（I）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（II）若函数f（x）在[12，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（III）求函数f（x）的极值点．
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（I）当a=0时，函数f（x）=lnx+x2的定义域为（0，+∞），f′（x）=
+2x＞0，
∴f（x）在[1，e]上是增函数，
当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1，∴f（x）在[1，e]上的最小值为1；
（II）f′（x）=
+2x-2a=
，设g（x）=2x2-2ax+1
由题意知，在区间[
，2]上存在于区间使得不等式g（x）＞0恒成立，
由于抛物线g（x）=2x2-2ax+1开口向上，
∴只要g（2）＞0，或g（
）＞0即可，
由g（2）＞0，即8-4a+1＞0，∴a＜
，由g（
）＞0，即
-a+1＞0，∴a＜
，
∴a＜
，即实数a的取值范围（-∞，
）
（III）∵f′（x）=
，设h（x）=2x2-2ax+1，
①显然，当a≤0时，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，
这时f′（x）＞0此时f（x）没有极值点；
②当a＞0时，
当x＜
或x＞
时，h（x）＞0，这时f′（x）＞0，
∴当a＞
时，x=
| 1 |
| x |
∴f（x）在[1，e]上是增函数，
当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1，∴f（x）在[1，e]上的最小值为1；
（II）f′（x）=
| 1 |
| x |
| 2x2?2ax+1 |
| x |
由题意知，在区间[
| 1 |
| 2 |
由于抛物线g（x）=2x2-2ax+1开口向上，
∴只要g（2）＞0，或g（
| 1 |
| 2 |
由g（2）＞0，即8-4a+1＞0，∴a＜
| 9 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴a＜
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
（III）∵f′（x）=
| 2x2?2ax+1 |
| x |
①显然，当a≤0时，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，
这时f′（x）＞0此时f（x）没有极值点；
②当a＞0时，
当x＜
a?
| ||
| 2 |
a+
| ||
| 2 |
∴当a＞
| 2 |
a?
|
