已知函数f（x）=lnx-ax-3（a≠0），（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的a∈[1，2]，若函数
已知函数f（x）=lnx-ax-3（a≠0），（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的a∈[1，2]，若函数g(x)＝x3+x22[m?2f′(x)]在区间（a...
已知函数f（x）=lnx-ax-3（a≠0），（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的a∈[1，2]，若函数g(x)＝x3+x22[m?2f′(x)]在区间（a，3）上有最值，求实数m的取值范围；（Ⅲ）求证：ln(122+1)+ln(132+1)+ln(142+1)+…+ln(1n2+1)＜1(n≥2，n∈N*)．
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（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，+∞），且f′(x)＝
?a，
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，
），减区间为（
，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间；
（Ⅱ）g(x)＝x3+
[m?2f′(x)]＝x3+(
+a)x2?x，
∴g'（x）=3x2+（m+2a）x-1，
∵g（x）在区间（a，3）上有最值，
∴g（x）在区间（a，3）上不总是单调函数，
又g′(0)＝?1∴
由题意知：对任意a∈[1，2]，g'（a）=3a2+（m+2a）?a-1=5a2+ma-1＜0恒成立，
∴m＜
＝
?5a，因为a∈[1，2]，所以m＜?
，
对任意，a∈[1，2]，g'（3）=3m+26+6a＞0恒成立，∴m＞?
∴?
＜m＜?
（Ⅲ）令a=1此时f（x）=lnx-x-3，由（Ⅰ）知f（x）=lnx-x-3在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴当x∈（0，+∞）时f（x）＜f（1），
∴lnx＜x-1对一切x∈（0，+∞）成立，
∴ln（x+1）＜x对一切x∈（0，+∞）成立，
∵n≥2，n∈N*，则有ln(
+1)＜
，
∴ln(
+1)+ln(
+1)+…+ln(
+1)＜
+
| 1 |
| x |
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间；
（Ⅱ）g(x)＝x3+
| x2 |
| 2 |
| m |
| 2 |
∴g'（x）=3x2+（m+2a）x-1，
∵g（x）在区间（a，3）上有最值，
∴g（x）在区间（a，3）上不总是单调函数，
又g′(0)＝?1∴
|
由题意知：对任意a∈[1，2]，g'（a）=3a2+（m+2a）?a-1=5a2+ma-1＜0恒成立，
∴m＜
| 1?5a2 |
| a |
| 1 |
| a |
| 19 |
| 2 |
对任意，a∈[1，2]，g'（3）=3m+26+6a＞0恒成立，∴m＞?
| 32 |
| 3 |
| 32 |
| 3 |
| 19 |
| 2 |
（Ⅲ）令a=1此时f（x）=lnx-x-3，由（Ⅰ）知f（x）=lnx-x-3在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴当x∈（0，+∞）时f（x）＜f（1），
∴lnx＜x-1对一切x∈（0，+∞）成立，
∴ln（x+1）＜x对一切x∈（0，+∞）成立，
∵n≥2，n∈N*，则有ln(
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| n2 |
∴ln(
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
3
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