Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方

已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设抛物线C与直线y=x-b相交于不同于原点的两点A，B，若OA⊥OB，求b．

Answer 1

（1）由题意设抛物线方程为y²=2px（p＞0），其准线方程为x=-

p

2

，
∵P（4，m）到焦点的距离等于其到准线的距离，
∴4+

p

2

=5，
∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
抛物线C与直线y=x-b联立，消去x得y²-2by-4b=0，
∴y₁y₂=-4b，∴x₁x₂=b²，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=b²-4b=0，
∵b≠0，
∴b=4．