Question

已知数列{an}及fn（x）=a1x+a2x2+…+anxn，fn（-1）=（-1）n?n，n=1，2，3，…（1）求a1，a2，a3的值；（

已知数列{an}及fn（x）=a1x+a2x2+…+anxn，fn（-1）=（-1）n?n，n=1，2，3，…（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）求证：13≤fn(13)＜1．

Answer 1

解答：（1）解：由已知f₁（-1）=-a₁=-1，所以a₁=1．…（1分）
f₂（-1）=-a₁+a₂=2，所以a₂=3．…（2分）
f₃（-1）=-a₁+a₂-a₃=-3，所以a₃=5．…（3分）
（2）解：令x=-1，则fn(?1)＝a1(?1)+a2(?1)2+…+an(?1)n①
fn+1(?1)＝a1(?1)+a2(?1)2+…+an(?1)n+an+1(?1)n+1②
两式相减，得(?1)n+1?an+1＝fn+1(?1)?fn(?1)＝(?1)n+1?(n+1)?(?1)n?n，
所以a_n+1=（n+1）+n．即a_n+1=2n+1．…（5分）
又a₁=1也满足上式，…（6分）
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．（n=1，2，3…）．…（7分）
（3）证明：fn(x)＝x+3x2+5x3+…+(2n?1)xn，
所以fn(

1

3

)＝

1

3

+3(

1

3

)2+5(

1

3

)3+…+(2n?1)(

1

3

)n．③

1

3

?fn(

1

3

)＝(

1

3

)2+3(

1

3

)3+5(

1

3

)4+…+(2n?1)(

1

3

)n+1．④
①-②，得

2

3

fn(

1

3

)＝

1

3

+2(

1

3

)2+2(

1

3

)3+…+2(

1

3

)n?(2n?1)(

1

3

)n+1
=

1

3

+

2 9 [1?( 1 3 )n?1]

1? 1 3

?(2n?1)(

1

3

)n+1＝

2

3

?

2n+2

3

(

1

3

)n，
∴fn(

1

3

)＝1?

n+1

3n

．…（9分）
又n=1，2，3…，∴

n+1

3n

＞0故fn(

1

3

)＜1．
又fn+1(

1

3

)?fn(

1

3

)＝

2n+1

3n+1

＞0
∴{fn(

1

3

)}是递增数列，故fn(

1

3

)≥f1(

1

3

)＝

1

3

…（11分）
∴

1

3

≤fn(

1

3

)＜1．…（12分）