Question

已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，OC=2，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分

已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，OC=2，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB（或它们的反向延长线）相交于点D，E．（1）当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），求证：OD+OE=2．（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时：①在图2这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．②在图3这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并给予证明．

Answer 1

解答：（1）证明：如图1，∵∠AOB=90°，∠AOB的平分线OM，
∴∠DOC=∠EOC=45°，
∵CD⊥OA，
∴∠CDO=90°，
∴∠DCO=45°，
∴∠DCO=∠DOC，
∴OD=DC，
∵OC=

2

，
∴CD=OD=1，
同理OE=CE=1，
∴OD+OE=2；


（2）结论还成立，
证明：过C作CM⊥OB于M，CN⊥OA于N，
则∠CND=∠CME=90°，
由（1）知：ON=CN=OM=CM=1，
∵∠CNO=∠CMO=∠AOB=90°，
∴∠MCN=90°，
∵∠DCE=90°，
∴∠NCD=∠ECM=90°-∠DCM，
在△CND和△CME中

∠CND＝∠CME CN＝CM ∠NCD＝∠MCE

∴△CND≌△CME（ASA），
∴ND=ME，
∴OD+OE=1-MD+1+ME=2，
即结论还成立；

（3）结论不成立，是OE-OD=2，
证明：证明：过C作CM⊥OB于M，CN⊥OA于N，
则∠CND=∠CME=90°，
由（1）知：ON=CN=OM=CM=1，
∵∠CNO=∠CMO=∠AOB=90°，
∴∠MCN=90°，
∵∠DCE=90°，
∴∠NCD=∠ECM=90°-∠DCM，
在△CND和△CME中

∠CND＝∠CME CN＝CM ∠NCD＝∠MCE

∴△CND≌△CME（ASA），
∴ND=ME，
∴OE-OD=（1+ME）-（ND-1）=2，
即结论不成立，是OE-OD=2．

Answer 2

1.解
作OC的垂直线交OB于点P
则OP=根号2倍的OC
在OB上取点Q使PQ=OD,则由于CP=OC,角CPQ=角COD,PQ=OD则三角形CPQ全等于三角形COD,则CD=CQ
而CE=CE且角DCE=角ECQ=45度
所以三角形DCE全等于三角形ECQ,所以DE=EQ所以OE+OE+DE=OP=根号2倍的OC
2.OD-OE=根号2倍的OC
或OE-OD=根号2倍的OC