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如图,已知C是线段AB上任意一点(C点不与A、B重合),分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边△ACD和等边
如图,已知C是线段AB上任意一点(C点不与A、B重合),分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.求证...
如图,已知C是线段AB上任意一点(C点不与A、B重合),分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.求证:△ACM≌△DCN.
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(1)∵△ACD和△BCE是等边三角形,
∴AC=DC,BC=EC,∠ACD=∠BCE=60°,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
即∠ACE=∠DCB.
在△ACE和△DCB中
,
∴△ACE≌△DCB(SAS);
(2)∵△ACE≌△DCB,
∴∠CAE=∠CDB.
∵∠ACD+∠DCE+∠BCE=180°,
∴∠DCE=60°,
∴∠DCE=∠ACD.
在△DCN和△ACM中
,
∴△DCN≌△ACM(ASA),
∴CN=CM.
∵∠DCE=60°,
∴△MCN是等边三角形,
∴∠MNC=60°,
∴∠CNM=∠BCN,
∴MN∥AB.
∴AC=DC,BC=EC,∠ACD=∠BCE=60°,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
即∠ACE=∠DCB.
在△ACE和△DCB中
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∴△ACE≌△DCB(SAS);
(2)∵△ACE≌△DCB,
∴∠CAE=∠CDB.
∵∠ACD+∠DCE+∠BCE=180°,
∴∠DCE=60°,
∴∠DCE=∠ACD.
在△DCN和△ACM中
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∴△DCN≌△ACM(ASA),
∴CN=CM.
∵∠DCE=60°,
∴△MCN是等边三角形,
∴∠MNC=60°,
∴∠CNM=∠BCN,
∴MN∥AB.
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