Question

观察下列各个等式：12=1，12+22=5，12+22+32=14，12+22+32+42=30，…．（1）你能从中推导出计算12+22+32+

观察下列各个等式：12=1，12+22=5，12+22+32=14，12+22+32+42=30，…．（1）你能从中推导出计算12+22+32+42+…+n2的公式吗？请写出你的推导过程；（2）请你用（1）中推导出的公式来解决下列问题：已知：如图，抛物线y=-x2+2x+3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OAn等分，分点从左到右依次为A1、A2、A3、A4、A5、A6、…、An-1，分别过这n-1个点作x轴的垂线依次交抛物线于点B1、B2、B3、B4、B5、B6、…、Bn-1，设△OBA1、△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…、△An-1Bn-1A的面积依次为S1、S2、S3、S4、…、Sn．①当n=2010时，求S1+S2+S3+S4+S5+…+S2010的值；②试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？

Answer 1

（1）∵n³-（n-1）³=3n²-3n+1，∴当式中的n从1、2、3、依次取到n时，就可得下列n个等式：
1³-0³=3-3+1，2³-1³=3×2²-3×2+1，3³-2³=3×3²-3×3+1，…，n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
将这n个等式的左右两边分别相加得：n³=3×（1²+2²+3²+…+n²）-3×（1+2+3+…+n）+n，
即1²+2²+3²+4²+…+n²=

n3+3(1+2+3+…+n)?n

3

＝

n(n+1)(2n+1)

6

．

（2）先求得A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，3），
∴点A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、…、A_n-1的横坐标分别为

3

n

、

6

n

、

9

n

、…、

3(n?1)

n

，
点B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、…、B_n-1的纵坐标分别为?(

3

n

)2+2(

3

n

)+3、?(

6

n

)2+2(

6

n

)+3、…、?[

3(n?1)

n

]2+2×

3(n?1)

n

+3．
∴S1＝

9

2n

，S2＝

9(n2+2n?3)

2n3

，S3＝

9(n2+4n?12)

2n3

，…，Sn＝

9[n2+2(n2?n)?3(n?1)2]

2n3

；
∴S1+S2+S3+…+Sn＝

9{n3+2n(1+2+3+…+n?1)?3[12+22+32+…+(n?1)2]}

2n3

=

9[n3+2n× n(n?1) 2 ?3× n(n?1)(2n?1) 6

2n3

＝

9(2n2+n?1)

4n2

．（3分）
∴①当n=2010时，S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₀=

9

2

+

9

4×2010

-

9

4×20102

；
②∵S1+S2+S3+…+Sn＝

9(2n2+n?1)

4n2

＝

9

2

+

9

4n

?

9

4n2

；
∴当n取到无穷无尽时，上式的值等于

9

2

，即所有三角形的面积和等于

9

2

．（3分）