Question

高等代数二次型，求正负惯性指数！

问题如下图！我用矩阵和配方都算了，我总是算不对！希望有大神可以急救！！！！！！谢谢^
图在这里在这里！！！！！
大家注意，由于这是华东师大2005考研的试题，第二项不确定是不是【X1X3】，我觉得应该是打错了，应该是【X1X2】！！

Answer 1

刘老师忽略了x[n]x[1]这项.
二次型的矩阵实际上是A =
2 -1 0 -1
-1 2 -1 0
0 -1 2 -1
-1 0 -1 2
取T =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1 1 1
可知TAT' =
2 -1 0 0
-1 2 -1 0
0 -1 2 0
0 0 0 0
剩下的是一个n-1阶正定矩阵(可算得r阶顺序主子式 = r+1 > 0).
正惯性指数为n-1, 负惯性指数为0.

追问

恍然大悟！谢谢！╭(╯3╰)╮

追答

不用谢, 能帮到你就好.
虽然没被采纳有点伤心……

追问

你的也采纳！只是刘老师先回答我就选的他。谢谢！O(∩_∩)O

Answer 2

看不到图片

追问

老师补图了QQ，谢谢您，我已经做了一个小时了！！！！

追答

你如果知道合同变换(行列同时相应变换),这题就解了
x1x2 或 x1x3无所谓

写出二次型的矩阵, 用合同变换化对角形
用4阶举例如下
2 -1 0 0
-1 2 -1 0
0 -1 2 -1
0 0 -1 2

r2 + (1/2)r1, c2+ (1/2)c1
2 0 0 0
0 3/2 -1 0
0 -1 2 -1
0 0 -1 2

r3 + (2/3)r2, c3+ (2/3)c2
2 0 0 0
0 3/2 0 0
0 0 4/3 -1
0 0 -1 2

r4 + (3/4)r3, c4+ (3/4)c3
2 0 0 0
0 3/2 0 0
0 0 4/3 0
0 0 0 5/4

看出规律了吧

追问

上面那位朋友已经解答，感谢！