Question

求解一道高中数学数列题。（只求问第2小题就）

Answer 1

设a1=1，a(n+1)= √(an^2-2an+2)+b(n∈N*).
（1）若b=1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；
（2）若b=-1，问：是否存在实数c使得a(2n)<c<a(2n+1)对所有n∈N*成立，证明你的结论。
（1）解析：设a1=1，a(n+1)=√(an^2-2an+2)+1(n∈N*).
∴a2=√(1-2+2)+1=2，a3=√(4-4+2)+1=√2+1
[a(n+1)-1]^2=(an-1)^2+1
∴数列{an-1}是首项为0，公差为1的等差数列
(a1-1)^2=0，(a2-1)^2=1,…(an-1)^2=n-1
∴an=√(n-1)+1(n∈N*)
（2）解析：设a1=1，a(n+1)=√(an^2-2an+2)-1(n∈N*).
∴a(n+1)=√[(an-1)^2+1]-1
假设存在实数c使得a(2n)<c<a(2n+1)对所有n∈N*成立，
用归纳法证明
当n=1时，a1=1，a2=√[(1-1)^2+1]-1=0，a3=√[(0-1)^2+1]-1=√2-1
令c=√[(c-1)^2+1]-1==>c=1/4
∴a2<1/4<a3<1
假设n=k时结论a(2k)<1/4<a(2k+1)<1成立，
构造函数f(x)=√[(x-1)^2+1]-1
令f’(x)=(x-1)/ √[(x-1)^2+1]=0==>x=1
x∈(-∞,1)时，f’(x)<0，f(x)单调减；x∈(1,+∞)时，f’(x)>0，f(x)单调增；
c=f(c)>f(a(2k+1))>f(1)=a2
∴1>c>a(2k+1+1)>a2
∴c=f(c)<f(a(2k+2))<f(a2)<1
即a(2k+2)<c<a(2k+3)<1
∴当n=k+1时，结论a(2k+2)<c<a(2k+3)<1成立
综上，存在实数c使得a(2n)<c<a(2n+1)对所有n∈N*成立，

追问

∴数列{an-1}是首项为0，公差为1的等差数列

应该是平方吧？

追答

是

Answer 2

b=1
a2=√1-2+2 +1=2
a3=√4-4+2 +1=1+√2
(an+1 -1)的平方-(an-1)的平方=1
即数列an-1 的平方为等差数列
首项为0,则 an -1的平房=n-1
an=1+根号下(n-1)

Answer 3

晕，弄错了 求导吧 大于0为递增数列那么C存在否则不存在