Question

函数f(x)=ax^2 lnx+bx^2-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c，(a、b、c为常数)。

（1）试确定a,b的值

（2）讨论函数f(x)的单调区间
（3）若对任意x＞0，不等式f(x)≥-2c^2恒成立，求c的取值范围

Answer 1

（1）因为函数在x=1处取得极值-3-c，
那么吵稿返有f(1)=b-c=-3-c故得到b=-3.对函数敬咐求导，
有f'(x)=(4alnx+a+4b)x^3,
因为x=-1为函数的极值点，升饥
所以有f'(1)=0于是有a+4b=0,于是有a=12.
（2）f(x)=(12lnx-3)x^4-c;f'(x)=48(lnx)x^3,
因为函数要有意义，所以有x>0
那么就有x^3>0所以对于f'(x)>0有x>1,
f'(x)<0有0<x<1.
所以有函数单调增区间为x>1;单调减区间为0<x<1.
（3）令f'(x)=0(x>0）
x1=1,x2=0(舍）所以最小值f(1)=-3-c,
不等式f(x)>=-2c^2恒成立
得到-3-c>=-2c^2，c≥3/2 或者c≤-1