已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值
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https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/9213b07eca80653895e85da294dda144ad348205?x-bce-process=image/quality,q_85 顺时针旋转△BPC60度,可得△PBE为等边三角形. 即得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上, 即如下图:可得最小PA+PB+PC=AF. BM=BF?cos30°=BC?cos30°=
则AM=1+
∵AB=BF,∠ABF=150° ∴∠BAF=15° 既得AF=
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定理:当三角形三内角均小于120度时,P点满足PA
,PB,
PC
各成120度时,PA+PB+PC有最小值。此时明显P点应为正三角形内心,PA+PB+PC=根号3。
下面是有关定理的证明,参考一下:
费马点是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点.
(1).三内角皆小於120°的三角形ABC的费马点,分别以
AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此角的顶点就是所求.
对于任意三角形△ABC,若三角形内某一点P令PA
+
PB
+
PC三线段有最小值的一点,P为费马点。
作法
*
当三角形的内角都小于120度时
o
向外做三个正三角形△ABC',△BCA',△CAB'
o
连接CC'、BB'、AA'
*
当有一个内角不小于120度时,费马点为此角对应顶点。
费马点的另外一种解法
:
在一块理想的(水平光滑)木板上画上要研究的
符合条件的三角形(任意顶角小于120度)
在三个顶点和费马点处打洞(无限小,壁光滑)
用三根绳子分别系上三个同样质量的物体,穿过
三个顶点的洞再打个结系在一起。(结当然也是理想的啦,无限小)
松手让整个系统自由运动。那么,绳结一定会落在
费马点(能量最低原则保证在桌面上的绳子总长度最短)
然后,由于是三个大小相同的矢量在平面上平衡,(三个物体质量一样)
所以三根绳子之间的夹角均为120度。
若P是三角形ABC内的一点,那么就分别过A点,B点,C点作PA,PB,PC的垂线,使之构成新的三角形,然后你就可以证明只有当PA,PB,PC每两条直线所成角为120度时,PA+PB+PC的和最小
,PB,
PC
各成120度时,PA+PB+PC有最小值。此时明显P点应为正三角形内心,PA+PB+PC=根号3。
下面是有关定理的证明,参考一下:
费马点是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点.
(1).三内角皆小於120°的三角形ABC的费马点,分别以
AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此角的顶点就是所求.
对于任意三角形△ABC,若三角形内某一点P令PA
+
PB
+
PC三线段有最小值的一点,P为费马点。
作法
*
当三角形的内角都小于120度时
o
向外做三个正三角形△ABC',△BCA',△CAB'
o
连接CC'、BB'、AA'
*
当有一个内角不小于120度时,费马点为此角对应顶点。
费马点的另外一种解法
:
在一块理想的(水平光滑)木板上画上要研究的
符合条件的三角形(任意顶角小于120度)
在三个顶点和费马点处打洞(无限小,壁光滑)
用三根绳子分别系上三个同样质量的物体,穿过
三个顶点的洞再打个结系在一起。(结当然也是理想的啦,无限小)
松手让整个系统自由运动。那么,绳结一定会落在
费马点(能量最低原则保证在桌面上的绳子总长度最短)
然后,由于是三个大小相同的矢量在平面上平衡,(三个物体质量一样)
所以三根绳子之间的夹角均为120度。
若P是三角形ABC内的一点,那么就分别过A点,B点,C点作PA,PB,PC的垂线,使之构成新的三角形,然后你就可以证明只有当PA,PB,PC每两条直线所成角为120度时,PA+PB+PC的和最小
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