Question

设a，b为正实数，下列结论正确的是（　　）①若a 2 -b 2 =1，则a-b＜1； ②若 ...

设a，b为正实数，下列结论正确的是（　　）①若a 2 -b 2 =1，则a-b＜1； ②若 1 b - 1 a =1 ，则a-b＜1；③若 | a - b |=1 ，则|a-b|＜1； ④若|a 3 -b 3 |=1，则|a-b|＜1． A．①② B．②④ C．①③ D．①④

Answer 1

①若a 2 -b 2 =1，则a 2 -1=b 2 ，即（a+1）（a-1）=b 2 ， ∵a+1＞a-1，∴a-1＜b，即a-b＜1，①正确； ②若若 1 b - 1 a =1 ，可取a=7，b= 7 8 ，则a-b＞1，∴②错误； ③若若 | a - b |=1 ，则可取a=9，b=4，而|a-b|=5＞1，∴③错误； ④由|a 3 -b 3 |=1， 若a＞b，则a 3 -b 3 =1，即a 3 -1=b 3 ，即（a-1）（a 2 +1+a）=b 3 ， ∵a 2 +1+a＞b 2 ，∴a-1＜b，即a-b＜1 若a＜b，则b 3 -a 3 =1，即b 3 -1=a 3 ，即（b-1）（b 2 +1+b）=a 3 ， ∵b 2 +1+b＞a 2 ，∴b-1＜a，即b-a＜1 ∴|a-b|＜1∴④正确； 所以正确的答案为①④． 故选D．