Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（I）求证：平面EAC⊥平面PBC；（II）若PC= ，求三棱锥C﹣ABE高的大小．





Answer 1

解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC 平面ABCD， ∴AC⊥PC， ∵AB=2，AD=CD=2， ∴AC=BC= ， ∴AC 2 +BC 2 =AB 2 ， ∴AC⊥BC， 又BC∩PC=C， ∴AC⊥平面PBC， ∵AC 平面EAC， ∴平面EAC⊥平面PBC． （Ⅱ）由PC=  ，知△PBC为等腰直角三角形， 则S △BCE =  S △PBC =  ， 由（Ⅰ）知，AC为三棱锥A﹣BCE高．  ∵Rt△PCA≌Rt△PCB≌Rt△ACB，PA=PB=AB=2， ∴S △ABE =  S △PAB =  ， 设三棱锥C﹣ABE的高为h， 则  S △ABE ·h=  S △BCE ·AC， 即  ×  h=  ×  ×  ， ∴h=  ， ∴三棱锥C﹣ABE的高等于  ．