Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1）平行于OM的直线l在y轴上的截

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1）平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，求证k1+k2=0．

Answer 1

（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1
则

a＝2b 4 a2 + 1 b2 ＝1

解得a²=8，b²=2
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

2

1
（2）∵直线l平行与OM，且在一轴上的截距为m，由k_OM=

1

2

∴l的方程为y=

1

2

x+m
由直线方程与椭圆方程联立消去y得x²+2mx+2m²-4=0
∵直线l与椭圆交与A，B两个不同点
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0
解得-2＜m＜2，且m≠0
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由x²+2mx+2m²-4=0可得
x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4
则k₁=

y1?1

x1?2

，k₂=

y2?1

x 2 ?2

而k₁+k₂=

y1?1

x1?2

+

y2?1

x 2 ?2

=

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