Question

已知f（x）=alnx-ax-3（1）若a=2，求函数f（x）的单调区间 （2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））

已知f（x）=alnx-ax-3（1）若a=2，求函数f（x）的单调区间 （2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处切线的倾斜角为45°，若函数g(x)＝x3+x2[f′(x)+m2]在区间（2，3）上不单调，求m的范围．

Answer 1

（1）a=2，则f（x）=2lnx-2x-3，∴f′（x）=

2(1?x)

x

（x＞0）
令f′（x）＞0，∵x＞0，∴0＜x＜1；令f′（x）＜0，
∵x＞0，∴x＞1；
∴f（x）的单调增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
（2）求导函数，可得f′（x）=

a(1?x)

x

∵函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处切线的倾斜角为45°，
∴f′（2）=-

a

2

=1，∴a=-2，
∴f（x）=-2lnx+2x-3
∴g（x）=x³+（

m

2

+2）x²-2x，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2
∵g（x）在区间（2，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2
∴

g′(2)＜0 g′(3)＞0

，∴

12+2(m+4)?2＜0 27+3(m+4)?2＞0

∴?

37

3

＜m＜?9．