Question

已知fx是定义在R上的函数且fx+f(-x)=0.当x>0时fx=2x-x^2

①求fx的解析式 ②当x∈[1,+∞)时，gx=fx,当x∈(-∞,1)时，gx=x^2-mx+2m-3.gx在R上单调递减，求实数m的取值范围 ③是否存在正实数a,b，使得当x∈[a,b]时，hx=fx，且hx的值域为[1/b,1/a],若存在，求出a,b，若不存在，说明理由 打字很不容易的！这道题纠结了好几天了。求过程和详细解答，谢谢！！

Answer 1

1） f(x)+f(-x)=0, 则f(x)为奇函数
x>0时， f(x)=2x-x²
x=0时，由奇函数性质，有f(x)=0
x<0时， -x>0, 由奇函数对称性，f(x)=-f(-x)=-(-2x-x²)=2x+x²
2）x>=1时， g(x)=f(x)=2x-x²=-(x-1)²+1, g(x)在此区间为单调减；
x<1时,g(x)=x²-mx+2m-3=(x-m/2)²-m²/4+2m-3, 要使它单调减，则对称轴x=m/2>=1, 得：m>=2
同时，因为单调减，在分界点，还须有g(1)<=g(1-)
而g(1)=1, g(1-)=1-m+2m-3=m-2, 故有1<=m-2, 得：m>=3
综合得：m>=3
3) h(x)=2x-x²=-(x-1)²+1
讨论a, b
若a<=1<b, 则h(x)最大值为h(1)=1=1/a, 得：a=1, 此时函数在[a, b]单调减，最小值为h(b)=1/b
即2b-b²=1/b, 得：b³-2b²+1=0, 化为：b³-b²-b²+1=0, (b-1)(b²-b-1)=0, 解之取b>1的解为：b=(1+√5)/2
因此存在所求的a, b.
比如这里求得的a=1, b=(1+√5)/2.

Answer 2

fx是定义在R上的函数且fx+f(-x)=0.当x>0时fx=2x-x^2
因为fx+f(-x)=0
f(-x)=-fx
x>0
-x＜0
所以当x＜0时f（-x）=-2x+x^2

Answer 3

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