Question

如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E。（1）求证：A

如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E。（1）求证：AB·AF=CB·CD；（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点，设DP=xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm 2 。①求y关于x的函数关系式；②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值。

Answer 1

解：（1）∵ ， ∴DE垂直平分AC， ∴ ，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF， ∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°， ∴∠DCF=∠DAF=∠B， 在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B， ∴△DCF∽△ABC， ∴ ， 即 ， ∴AB·AF=CB·CD； （2）①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°， ∴ ， ∴ ，  ∴ ； ②∵BC=9（定值）， ∴△PBC的周长最小，就是PB+PC最小， 由（1）知，点C关于直线DE的对称点是点A， ∴PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小， 显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小， 此时DP=DE，PB+PA=AB， 由（1） ， 得△DAF∽△ABC，EF∥BC， 得 ，EF= ， ∴AF∶BC=AD∶AB，即6∶9=AD∶15， ∴AD=10， Rt△ADF中，AD=10，AF=6， ∴DF=8， ∴ ， ∴当 时，△PBC的周长最小，此时 。