Question

如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD ∥ OC，弦DF⊥AB于点G．（1）求证：点E是

如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD ∥ OC，弦DF⊥AB于点G．（1）求证：点E是 BD 的中点；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）若sin∠BAD= 4 5 ，⊙O的半径为5，求DF的长．

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

Answer 1

（1）证明：连接OD； ∵AD ∥ OC， ∴∠A=∠COB；（1分） ∵∠A= 1 2 ∠BOD， ∴∠BOC= 1 2 ∠BOD； ∴∠DOC=∠BOC； ∴ DE = BE ， 则点E是 BD 的中点；（2分） （2）证明：如图所示： 由（1）知∠DOE=∠BOE，（1分） ∵CO=CO，OD=OB， ∴△COD≌△COB；（2分） ∴∠CDO=∠B； 又∵BC⊥AB， ∴∠CDO=∠B=90°； ∴CD是⊙O的切线；（3分） （3）在配樱旁颂升△ADG中，∵sinA= DG AD = 4 5 ， 设DG=4x，AD=5x； ∵DF⊥AB， ∴AG=3x；（1分） 又∵⊙O的半径为5， ∴OG=5-3x； ∵培橡OD 2 =DG 2 +OG 2 ， ∴5 2 =（4x） 2 +（5-3x） 2 ；（2分） ∴x 1 = 6 5 ，x 2 =0；（舍去） ∴DF=2DG=2×4x=8x=8× 6 5 = 48 5 （3分）．