Question

设函数f（x）=ax 2 +bx+c（a＞0）且f（1）=- a 2 ．（1）求证：函数f（x）有两个零点；（2）

设函数f（x）=ax 2 +bx+c（a＞0）且f（1）=- a 2 ．（1）求证：函数f（x）有两个零点；（2）设x 1 ，x 2 是函数的两个零点，求|x 1 -x 2 |的取值范围．

Answer 1

（1）证明：由函数f（x）=ax 2 +bx+c（a＞0）且f（1）=- a 2 ，可得 a+b+c=- a 2 ，即 c=- 3a 2 -b． 故判别式△=b 2 -4ac= b 2 -4a(- 3a 2 -b) =（b+2a） 2 +2a 2 ＞0，函数f（x）有两个零点． （2）设x 1 ，x 2 是函数的两个零点，则 x 1 + x 2 =- b a ， x 1 ? x 2 = c a ， ∴|x 1 -x 2 |= ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 ? x 2 = (- b a ) 2 -4? c a = b 2 -4ac a 2 = b 2 +4ab+ 6a 2 a 2 = ( b a ) 2 +4? b a +6 = ( b a +2) 2 +2 ≥ 2 ． 故|x 1 -x 2 |的取值范围为[ 2 ，+∞）．