Question

已知数列{an}中，a1=1，an+1=an2an+1（n∈N*）．（1）求证：数列{1an}为等差数列；（2）求数列{an}的通项

已知数列{an}中，a1=1，an+1=an2an+1（n∈N*）．（1）求证：数列{1an}为等差数列；（2）求数列{an}的通项公式an；（3）设2bn=1an+1，数列{bnbn+2}的前n项和Tn，求证：Tn＜34．

Answer 1

证明：（1）由an+1=

an

2an+1

得：

1

an+1

-

1

an

=2，且

1

a1

=1，
∴数列{

1

an

}是以1为首项，以2为公差的等差数列；
（2）由（1）得：

1

an

=1+2(n-1)=2n-1，
故an=

1

2n-1

；
（3）由

2

bn

=

1

an

+1得：

2

bn

=2n-1+1=2n，
∴bn=

1

n

，
从而：bnbn+2=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
则T_n=b₁b₃+b₂b₄+…+b_nb_n+2
=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

．