Question

如图，P是抛物线C：y= x 2 上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，

如图，P是抛物线C：y= x 2 上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，（Ⅰ）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；（Ⅱ）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离。

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Answer 1

解：（Ⅰ）把x=2代入 ，得y=2， ∴点P坐标为（2，2）， 由 ， ① 得y′=x， ∴过点P的切线的斜率 =2，直线l的斜率k l = ， ∴直线l的方程为y-2=- (x-2)，即x+2y-6=0； （Ⅱ）设 ，则 ， ∵过点P的切线斜率 =x 0 ，当x 0 =0时不合题意，x 0 ≠0， ∴直线l的斜率k l = ， 直线l的方程为 ，②  联立①②消去y，得 ， 设 ， ∵M是PQ的中点， ∴ ， 消去x 0 ，得 就是所求的轨迹方程， 由x≠0知 ， ∴ ， 上式等号仅当 即 时成立， 所以点M到x轴的最短距离是 。