Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线y=-3x+3在点（ 1，0 ） 处相切，（1）

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线y=-3x+3在点（ 1，0 ） 处相切，（1）求a，b，c的值；（2）求f（x）的极值．

Answer 1

（1）∵f′（x）=3x²+2ax+b，
∴f′（-2）=3×（-2）²+2a×（-2）+b=0
∴12-4a+b=0   ①
又f′（1）=3+2a+b=-3  ②，
由①②解得a=1，b=-8
又f（x）过点（1，0），
∴1³+a×1²+b×1+c=0，∴c=6
（2）由（1）知：f（x）=x³+x²-8x+6，所以f′（x）=3x²+2x-8
令3x²+2x-8＜0解得-2＜x＜

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3

，
令3x²+2x-8＞0解得x＜-2，或x＞

4

3

故f（x）的单调递增区间为（-∞，-2）和（

4

3

，+∞），
f（x）的单调递减区间为（-2，

4

3

）
∴在x=-2处取得极大值18，在x=

4

3

处取得极小值-

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