Question

已知函数f（x）=ex-kx，x∈R（e是自然对数的底数，e=2.71828…）（1）若k=e，求函数f（x）的极值；（2）

已知函数f（x）=ex-kx，x∈R（e是自然对数的底数，e=2.71828…）（1）若k=e，求函数f（x）的极值；（2）若k∈R，求函数f（x）的单调区间；（3）若k∈R，讨论函数f（x）在（-∞，4]上的零点个数．

Answer 1

（1）由k=e得f（x）=e^x-ex，
所以f'（x）=e^x-e．                 
令f′（x）=0，得e^x-e=0，解得x=1．
由f'（x）＞0得x＞1，由f'（x）＜0得x＜1，
当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

…（2分）
所以当x=1时，f（x）有极小值为0，无极大值．                            …（3分）
（2）由f（x）=e^x-kx，x∈R，得f'（x）=e^x-k．
①当k≤0时，则f'（x）=e^x-k＞0对x∈R恒成立，
此时f（x）的单调递增，递增区间为（-∞，+∞）．                            …（4分）
②当k＞0时，
由f'（x）=e^x-k＞0，得到x＞lnk，
由f'（x）=e^x-k＜0，得到x＜lnk，
所以，k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（-∞，lnk）． …（6分）
综上，当k≤0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；
当k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（-∞，lnk）． …（7分）
（3）解法一：
①当k=0时，f（x）=e^x＞0，对x∈R恒成立，所以函数f（x）在（-∞，4]上无零点．…（8分）
②当k＜0时，由（2）知，f'（x）=e^x-k＞0对x∈R恒成立，函数f（x）在（-∞，4]上单调递增，
又f（0）=1＞0，f(

1

k

)＝e

1

k

?1＜0，…（9分）
所以函数f（x）在（-∞，4]上只有一个零点．                     …（10分）
③当k＞0时，令f'（x）=e^x-k=0，
得x=lnk，且f（x）在（-∞，lnk）上单调递减，在（lnk，+∞）上单调递增，f（x）在x=lnk时取得极小值，
即f（x）在（-∞，4]上最多存在两个零点．
（ⅰ）若函数f（x）在（-∞，4]上有2个零点，
则

lnk＜4 f(lnk)＝k(1?lnk)＜0 f(4)≥0

，
解得k∈(e，

e4

4

]；…（11分）
（ⅱ）若函数f（x）在（-∞，4]上有1个零点，
则f（4）＜0或

lnk≤4 f(lnk)＝0

，
解得k∈(

e4

4

，+∞)或k=e；                               &nb