Question

已知函数f（x）=|2x+1|-|x|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若存在x∈R，使得f（x）≤m成立，求实

已知函数f（x）=|2x+1|-|x|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若存在x∈R，使得f（x）≤m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=

?x?1，x＜? 1 2 3x+1，? 1 2 ≤x≤0 x+1，x＞0

，当x＜?

1

2

时，-x-1＞0，得x＜-1；
当?

1

2

≤x≤0时，3x+1＞0，得x＞?

1

3

；即，?

1

3

＜x≤0；
当x＞0时，x+1＞0，得x＞-1，可得x＞0；
综上，不等式的解集为：{x|x＜-1或x＞?

1

3

}．
（Ⅱ）由（1）f（x）=

?x?1，x＜? 1 2 3x+1，? 1 2 ≤x≤0 x+1，x＞0

，
可知，f_min（x）=f（

1

2

）=?

1

2

．
若存在x∈R，使得f（x）≤m成立，则实数m≥?

1

2

，
实数m的取值范围：[-

1

2

，+∞）．