Question

已知函数f（x）=-13x3+bx2-3a2x（a≠0）在x=a处取得极值，（1）用x，a表示f（x）；（2）设函数g（x）=2x3

已知函数f（x）=-13x3+bx2-3a2x（a≠0）在x=a处取得极值，（1）用x，a表示f（x）；（2）设函数g（x）=2x3-3af′（x）-6a3如果g（x）在区间（0，1）上存在极小值，求实数a的取值范围

Answer 1

（1）由题得 f′（x）=-x²+2bx-3a²，
因为f′（a）=0?b=2a?f（x）=-

1

3

x³+2ax²-3a²x
所以f（x）=-

1

3

x³+2ax²-3a²x．
（2）由已知，g（x）=2x³+3ax²-12a²x+3a³，令g'（x）=0?x=a或x=-2a
①若a＞0?当x＜a或x＞-2a时，g′（x）＞0；当-2a＜x＜a时，g′（x）＜0
所以当x=a∈（0，1）时，g（x）在（0，1）有极小值．
②同理当a＜0时，x=-2a∈（0，1），即a∈（-

1

2

，0）时，g（x）在（0，1）有极小值
综上所述：当a∈（0，1）∪（-

1

2

，0）时，g（x）在（0，1）有极小值