已知函数f（x）=lnx-tx，t∈R（1）求该函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤-1恒成立，试确定实数t的取
已知函数f（x）=lnx-tx，t∈R（1）求该函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤-1恒成立，试确定实数t的取值范围；（3）证明：ln12+ln23+ln34+…...
已知函数f（x）=lnx-tx，t∈R（1）求该函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤-1恒成立，试确定实数t的取值范围；（3）证明：ln12+ln23+ln34+…+lnnn+1≤n(n?1)4，n∈N+．
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（1）∵f（x）=lnx-tx，
∴f′（x）=
-t=
，x＞0，
当t≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
当t＞0时，由1-tx＞0得0＜x＜
，由1-tx＜0，得x＞
∴当t≤0时，f（x）在定义域（0，+∞）上递增；
当t＞0时，f（x）的增区间为（0，
），减区间为（
，+∞）．
（2）∵f（x）≤-1恒成立，
∴lnx-tx+1≤0在x＞0时恒成立，
∴t≥
+
，x＞0，记g（x）=
+
，x＞0，
∴g′（x）=
?
=
，
由g′（x）＞0得0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
∴g（x）max=g（1）=1，
∴t≥1，
故确定实数t的取值范围为[1，+∞）．
（3）令t=1，由（1）知，f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）≤f（1）=0
即lnx≤x-1，当且仅当x=1时取等号．
令x=n2，n∈N+，得lnn2≤n2-1，即
≤
，
∴
+
+
+…+
≤0+
+
+
+…+
=
（1+2+3+…+n-1）=
n（n-1），
∴
+
∴f′（x）=
| 1 |
| x |
| 1?tx |
| x |
当t≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
当t＞0时，由1-tx＞0得0＜x＜
| 1 |
| t |
| 1 |
| t |
∴当t≤0时，f（x）在定义域（0，+∞）上递增；
当t＞0时，f（x）的增区间为（0，
| 1 |
| t |
| 1 |
| t |
（2）∵f（x）≤-1恒成立，
∴lnx-tx+1≤0在x＞0时恒成立，
∴t≥
| lnx |
| x |
| 1 |
| x |
| lnx |
| x |
| 1 |
| x |
∴g′（x）=
| 1?lnx |
| x2 |
| 1 |
| x2 |
| ?lnx |
| x2 |
由g′（x）＞0得0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
∴g（x）max=g（1）=1，
∴t≥1，
故确定实数t的取值范围为[1，+∞）．
（3）令t=1，由（1）知，f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）≤f（1）=0
即lnx≤x-1，当且仅当x=1时取等号．
令x=n2，n∈N+，得lnn2≤n2-1，即
| lnn |
| n+1 |
| n?1 |
| 2 |
∴
| ln1 |
| 2 |
| ln2 |
| 3 |
| ln3 |
| 4 |
| lnn |
| n+1 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| n?1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∴
| ln1 |
| 2 |
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