Question

已知数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*，有an+1=kSn+1（k为常数）．（I）当k=2时

已知数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*，有an+1=kSn+1（k为常数）．（I）当k=2时，求a2，a3的值；（II）试判断数列{an}是否为等比数列？请说明理由．

Answer 1

（I）当k=2时，a_n+1=2S_n+1．
令n=1得a₂=2S₁+1，又a₁=S₁=1，得a₂=3；
令n=2得a₃=2S₂+1=2（a₁+a₂）+1=9，∴a₃=9．
∴a₂=3，a₃=9．
（II）由a_n+1=kS_n+1，得a_n=kS_n-1+1，
两式相减，得a_n+1-a_n=（kS_n+1）-（kS_n-1+1）=k（S_n-S_n-1）=ka_n（n≥2），
即a_n+1=（k+1）a_n（n≥2），
且

a2

a1

＝

k+1

1

＝k+1，故a_n+1=（k+1）a_n．
k=-1时，an＝

1，(n＝1) 0．(n≥2)

此时，{a_n}不是等比数列；
当k=-1时，{a_n}不是等比数列；
当k≠-1时，{a_n}是等比数列