Question

线性代数问题。自己做的答案，帮看下错在哪里

Answer 1

解中第4行, a≠0 推不出 A^3 -4E ... =0
解:
A(a,Aa,A^2a) = (Aa,A^2a,A^3a)
= (Aa,A^2a,4a+4Aa-A^2a)
= (a,Aa,A^2a)K
K=
0 0 4
1 0 4
0 1 -1

由于 a,Aa,A^2a 线性无关
所以 (a,Aa,A^2a) 可逆
所以 (a,Aa,A^2a)^-1A(a,Aa,A^2a) = K
所以 A 与K相似
求出K的特征值 即为A的特征值

追问

如果提出来的a是多项式的特征向量我这个思路就成立了吧？

追答

不行, 这类题目就按上面的方法解

追问

我记得老师讲过，有个公式 f（A）a=f（入）a 这个题为什么不能用呢

追答

这个公式是在知道A的特征值λ的前提下才能用

追问

有一道题，过一会贴上来，也是这个系列的，我有点蒙

这个和上一个有什么区别嘛

追答

这转换成了 一个数 乘一非零向量 等于零

追问

f(A)=f(入)在知道入的情况下才能用，能举个例子吗

追答

乖乖 你没完了
f(x)=x+1
若 1 是 A 的特征值,
则 f(1)=2 是 f(A)=A+E 的特征值

Answer 2

a≠0, 得不出 A^3-4E-4A+A^2=O，只能得出 | A^3-4E-4A+A^2 | = 0,
则 | (A+E)(A-2E)(A+2E) | =0
| A+E | =0, 则 A 有特征值 -1；
| A+2E | =0， 则 A 有特征值 -2；
| A-2E | =0， 则 A 有特征值 2。
故 A 的 特征值 是 -1，-2，2.