Question

已知等差数列{a n }的首项a 1 =1，公差d＞0、且a 2 ，a 5 ，a 14 分别是等比数列{b n }的b 2 ，b 3 ，b 4

已知等差数列{a n }的首项a 1 =1，公差d＞0、且a 2 ，a 5 ，a 14 分别是等比数列{b n }的b 2 ，b 3 ，b 4 ．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }对任意自然数n均有： c 1 b 1 + c 2 b 2 +…+ c n b n = a n+1 成立、求c 1 +c 2 +c 3 +…+c 2010 的值．

Answer 1

（1）∵a 2 =1+d，a 5 =1+4d，a 14 =1+13d，且a 2 、a 5 、a 14 成等比数列 ∴（1+4d） 2 =（1+d）（1+13d）即d=2∴a n =1+（n-1）?2=2n-1 又∵b 2 =a 2 =3，b 3 =a 5 =9、∴q=3，b 1 =1，b n =3 n-1 （2）∵ C 1 b 1 + C 2 b 2 ++ C n b n = a n+1 ① ∴ C 1 b 1 = a 2 即C 1 =b 1 a 2 =3 又 C 1 b 1 + C 2 b 2 ++ C n-1 b n-1 = a n    (n≥2) ② ①-②： C n b n = a n+1 - a n =2 ∴C n =2?b n =2?3 n-1 （n≥2） ∴ C n = 3          (n=1) 2? 3 n-1    (n≥2) ∴    C 1 + C 2 + C  3 ++ C 2010 =3+2? 3 1 +2? 3 2 ++2? 3 2010-1 =3+2?( 3 1 + 3 2 + 3 3 ++ 3 2009 )=3+2? 3(1- 3 2009 ) 1-3 = 3 2010