Question

设抛物线C：x 2 =2py（p＞0）的焦点为F，A（x 0 ，y 0 ）（x 0 ≠0）是抛物线C上的一定点．（1）已知直线

设抛物线C：x 2 =2py（p＞0）的焦点为F，A（x 0 ，y 0 ）（x 0 ≠0）是抛物线C上的一定点．（1）已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q，R两点，S为C的准线上一点，若△QRS的面积为4，求p的值；（2）过点A作倾斜角互补的两条直线AM，AN，与抛物线C的交点分别为M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ）．若直线AM，AN的斜率都存在，证明：直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A 1 处的切线的斜率．

Answer 1

（1）由题设 F(0， p 2 ) ，设 Q( x 1 ， p 2 ) ，则 R(- x 1 ， p 2 ) …（1分） |QR|= ( x 1 -(- x 1 )) 2 + ( p 2 - p 2 ) 2 = 2 x 1 2 =2 2p× p 2 =2p ．…（2分） ∴由△QRS的面积为4，得： 1 2 ×2p×p=4 ，得：p=2．…（4分） （2）证明：由题意A 1 （-x 0 ，y 0 ）…（5分） 首先求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A 1 处的切线的斜率． 解法一：设抛物线在A 1 处的切线的斜率为k，则其方程为y=k（x+x 0 ）+y 0 …（6分） 联立 y=k(x+ x 0 )+ y 0 x 2 =2py ，消去y得x 2 -2pkx-2px 0 k-2py 0 =0 将 2p y 0 = x 0 2 代入上式得： x 2 -2pkx-2p x 0 k- x 0 2 =0 …（7分） △=(-2pk ) 2 +4(2p x 0 k+ x 0 2 )=0 …（8分） 即 p 2 k 2 +2p x 0 k+ x 0 2 =0 ，即 (pk+ x 0 ) 2 =0 ，得 k=- x 0 p ． 即抛物线C在点A关于对称轴的对称点A 1 处的切线的斜率为 - x 0 p ．…（9分） 解法二：由x 2 =2py得 y= 1 2p x 2 ，…（6分） ∴ y ′ = x p …（7分） ∴抛物线C在点A关于对称轴的对称点A 1 （-x 0 ，y 0 ）处的切线的斜率为 - x 0 p ．…（9分） 再求直线MN的斜率． 解法一：设直线AM的斜率为k 1 ，则由题意直线AN的斜率为-k 1 ．…（10分） 直线AM的方程为y-y 0 =k 1 （x-x 0 ），则直线AN的方程为y-y 0 =-k 1 （x-x 0 ）． 联立 x 2 =2py y= k 1 (x- x 0 )+ y 0 ，消去y得 x 2 -2p k 1 x+2p k 1 x 0 - x 0 2 =0 …（1）…（11分） ∵方程（1）有两个根x 0 ，x 1 ，∴ △=(-2p k 1 ) 2 -4(2p x 0 k 1 - x 0 2 )＞0 ∴ x 0，1 = 2p k 1 ± △ 2 ，x 0 +x 1 =2pk 1 ，即x 1 =2pk 1 -x 0 ，同理可得x 2 =-2pk 1 -x 0 …（12分） 直线MN的斜率 k MN = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = x 2 2 2p - x 1 2 2p x 2 - x 1 = x 1 + x 2 2p = -2 x 0 2p =- x 0 p ．…（13分） ∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A 1 处的切线的斜率．…（14分） 解法二：∵k AM =-k AN …（10分） ∴ y 0 - y 1 x 0 - x 1 =- y 0 - y 2 x 0 - x 2 …（11分） 将 y 0 = 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2021-10-14 已知直线y=kx+1过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点(1)求抛物线 2012-02-17 已知抛物线c：x^2=2py(p>0)的焦点为f，抛物线上一点a的横坐标为x1（x1>0），过点 9 2013-03-06 设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点。 66 2012-12-28 已知抛物线C：y^2=2px（p>0)的焦点F，过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点 6 2016-12-01 已知抛物线C:x2=2py(p＞0)的焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A,B两点,P是线段AB的中点 15 2011-02-06 已知抛物线c:x2=2py(p>0)的焦点为f,a、b是抛物线c上异于坐标原点o的不同两点，抛物线c在点a、b处的切线分 3 2011-02-02 已知抛物线C：x^2=2py(y>0)上一点A（m,4)到其焦点距离为17/4. （1）求p与m的值；（2）设抛物线C上一点P的 4 2015-12-28 已知抛物线C：x^2=2py(p>0)的焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A、B两点，P是 1 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 新生报道需要注意什么？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2025Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式