Question

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2，（1）求

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2，（1）求证：PC⊥AE；（2）求证：CE∥平面PAB； （3）求三棱锥P-ACE的体积V。

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°， ∴BC= ，AC=2， 取PC中点F，连AF，EF， ∵PA=AC=2， ∴PC⊥AF， ∵PA⊥平面ABCD， 平面ABCD， ∴PA⊥CD， 又∠ACD=90°，即CD⊥AC， ∴CD⊥平面PAC， ∴CD⊥PC， ∴EF⊥PC， ∴PC⊥平面AEF， ∴PC⊥AE； （2）取AD中点M，连EM，CM， 则EM∥PA， ∵EM 平面PAB，PA 平面PAB， ∴EM∥平面PAB， 在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2， ∴∠ACM=60°，而∠BAC=60°， ∴MC∥AB， ∵MC 平面PAB，AB 平面PAB， ∴MC∥平面PAB， ∵EM∩MC=M， ∴平面EMC∥平面PAB， ∵EC 平面EMC， ∴EC∥平面PAB。 (3)由(1)知AC=2，EF= CD，且EF⊥平面PAC， 在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°， ∴CD=2 ，得EF= ， 则V= 。

Answer 2

(1)∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°,AB=1,
∴AC=2=PA,CD=2√3，AD=4,
PA⊥平面ABCD，
∴PC=2√2，PD=2√5，
取CD的中点F,连EF.
E是PD的中点，
∴EF∥=PC/2=√2，AF=√7，AE=PD/2=√5，
∴EF^2+AE^2=AF^2,
∴EF⊥AE,
∴PC⊥AE.
(2)作CG∥AD交AB延长线于G,取PA的中点H,连EH,GH.则
∠ACG=∠CAD=60°，
∴△ACG是等边三角形，
∴CG=AC=2,
∴EH∥=AD/2∥=CG,
∴四边形GCEH是平行四边形，
∴CE∥GH,
∴CE∥平面PAB.
(3)CE=GH=√5=AE=PE,
作EO⊥平面PAC于O,则
PO=AO=CO,
∴O是斜边PC的中点，
∴EO=CD/2=√3，
∴V=(1/3)*2*√3=2√3/3.

Answer 3

【解答】：