Question

设f(x)＝lnx＋ －1，证明：（1）当x>1时，f(x)< (x－1)；（2）当1<x<3时，f(x)< .

设f(x)＝lnx＋ －1，证明：（1）当x>1时，f(x)< (x－1)；（2）当1<x<3时，f(x)< .





Answer 1

（1）见解析（2）见解析

证明：（1）(证法一)记g(x)＝lnx＋ －1－  (x－1).则当x>1时， g′(x)＝ ＋ － <0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减. 又g（1）＝0，有g(x)<0，即f(x)<  (x－1). (证法二) 由均值不等式，当x>1时，2 <x＋1，故 < ＋ .① 令k(x)＝lnx－x＋1，则k（1）＝0，k′(x)＝ －1<0， 故k(x)<0，即lnx<x－1.② 由①②得，当x>1时，f(x)<  (x－1). （2）(证法一)记h(x)＝f(x)－ ，由（1）得 h′(x)＝ ＋ － ＝ － < － ＝ . 令g(x)＝(x＋5) 3 －216x，则当1<x<3时，g′(x)＝3(x＋5) 2 －216<0. 因此g(x)在(1,3)内是递减函数，又由g（1）＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0. 因此h(x)在(1,3)内是递减函数，又由h（1）＝0，得h(x)<0.于是当1<x<3时，f(x)< . (证法二)记h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)， 则当1<x<3时，由（1）得h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－9<  (x－1)＋(x＋5) －9 ＝  [3x(x－1)＋(x＋5)(2＋ )－18x]< ＝  (7x 2 －32x＋25)<0. 因此h(x)在(1,3)内单调递减，又 ，所以 ，即 .