Question

已知函数f（x）=|x2-1|，g（x）=x2+ax+2，x∈R．（Ⅰ）若函数g（x）≤0的解集为[1，2]，求不等式f（x）≤

已知函数f（x）=|x2-1|，g（x）=x2+ax+2，x∈R．（Ⅰ）若函数g（x）≤0的解集为[1，2]，求不等式f（x）≤g（x）的解集；（Ⅱ）若函数h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有两个不同的零点x1，x2，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数g（x）≤0的解集为[1，2]，
∴-a=3，∴a=-3，
x²-1＞0时，x²-1≤x²-3x+2，∴x＜-1；
x²-1≤0时，-x²+1≤x²-3x+2，∴-1≤x≤

1

2

或x=1；
∴不等式f（x）≤g（x）的解集为{x|x≤

1

2

或x=1}；
（Ⅱ）函数h（x）=f（x）+g（x）+2=|x²-1|+x²+ax+4=0，
x²-1＞0时，-a=2x+

3

x

；x²-1≤0时，-a=

5

x

，
∵函数h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有两个不同的零点x₁，x₂，
∴由2x+

3

x

≥2

6

，可得-a≥2

6

，
∴a≤-2

6

．