Question

已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2（n∈N*）．（1）求{an}的通项公式；（2）令bn＝1anan＝1，Tn是数列{

已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2（n∈N*）．（1）求{an}的通项公式；（2）令bn＝1anan＝1，Tn是数列{bn}的前n项和，试证明Tn＜12．

Answer 1

（1）当n=1时，S₁=1²=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
又n=1时，a₁=2-1=1，满足通项公式，
∴此数列为等差数列，其通项公式为a_n=2n-1，
（2）证明：b_n=

1

(2n?1)(2n+1)

＝

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n?1

?

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2