Question

已知函数f（x）=xlnx+x2，且x0是函数f（x）的极值点．给出以下几个问题：①0＜x0＜1e；②x0＞1e；③f（x0

已知函数f（x）=xlnx+x2，且x0是函数f（x）的极值点．给出以下几个问题：①0＜x0＜1e；②x0＞1e；③f（x0）+x0＜0；④f（x0）+x0＞0其中正确的命题是______．（填出所有正确命题的序号）

Answer 1

∵函数f（x）=xlnx+x²，（x＞0）
∴f′（x）=lnx+1+2x，
∴f′（

1

e

）=

2

e

＞0，
∵x→0，f′（x）→-∞，
∴0＜x₀＜

1

e

，即①正确，②不正确；
∵lnx₀+1+2x₀=0
∴f（x₀）+x₀=x₀lnx₀+x₀²+x₀=x₀（lnx₀+x₀+1）=-x₀＜0，即③正确，④不正确．
故答案为：①③．