Question

设数列{an}满足an+1=an2-nan+1，n=1，2，3，…，当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式

设数列{an}满足an+1=an2-nan+1，n=1，2，3，…，当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式并用数学归纳法证明．

Answer 1

根据题目给出的关系式可得：
n=1，a₂=a₁²-a₁+1=2²-2+1=3，
n=2，a₃=a₂²-2a₂+1=3²-2×3+1=4，
n=3，a₄=a₃²-3a₃+1=4²-3×4+1=5，
由此可以猜测a_n=n+1．
下面用数学归纳法证明
当n=1时，a2=2=1+1，成立．
假设当n=k（k≥2）时成立．即a_k=k+1，
那么当n=k+1时，a_k+1=a_k²-ka_n+1=（k+1）²-k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1
即当n=k+1时也成立．
所以a_n=n+1．