Question

电视台某广告公司特约播放两部片集，其中片集甲每片播放时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万

电视台某广告公司特约播放两部片集，其中片集甲每片播放时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万；片集乙每片播放时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万，广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间（含广告时间）．（1）问电视台每周应播放两部片集各多少集，才能使收视观众最多；（2）在获得最多收视观众的情况下，片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a和b（万元）的效益，若广告公司本周共获得1万元的效益，记S=1a+1b为效益调和指数，求效益调和指数的最小值．（取2=1.41）

Answer 1

（1）设片集甲、乙分别播放x，y集，则有

x+y≥6 21x+11y≤86

（x，y∈N）
要使收视观众最多，则只要z=60x+20y最大即可．
如图作出可行域，易知满足题意的最优解为（2，4），
z_max=60×2+20×4=200，故电视台每周片集甲播出2集，片集乙播出4集，其收视观众最多．

（2）由题意得：2a+4b=1，
S=

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）（2a+4b）
=6+

2a

b

+

4b

a

≥6+4

2

=11.64（万元），当且仅当a=

2 ?1

2

，b=

2? 2

4

时，取等号．
所以效益调和指数的最小值为11.64万元．