Question

若函数f (x)=loga(x+a/x-4)(a大于0且a不等于1)的值域为R，则实数a的取值范围是

书本上的答案是a大于4……可是我求出的是a小于4

Answer 1

原命题等价于x+a/x-4可以取到（0，正无穷）上的任何正数。

先看定义域，
0 < x + a/x - 4,

当x > 0时，0 < x^2 - 4x + a = (x-2)^2 + a-4,
a > 4时，x > 0.
a = 4时，x > 0. x 不等于2.
a < 4时，（x-2)^2 > 4 - a, |x-2| > (4-a)^(1/2),
x > 2 + (4-a)^(1/2), 或者，x < 2 - (4-a)^(1/2),
0 < a < 4时，x > 2 + (4-a)^(1/2), 或者，0 < x < 2 - (4-a)^(1/2);
a <= 0时, x > 2 + (4-a)^(1/2)。

当x < 0时，0 > x^2 - 4x + a = (x-2)^2 + a - 4.
a >= 4时，无解。
a < 4时，（x-2)^2 < 4 - a, |x-2| < (4-a)^(1/2),
2 - (4-a)^(1/2) < x < 2 + (4-a)^(1/2),

0 <= a < 4时，无解。

a < 0时, 2 - (4-a)^(1/2) < x < 0。

综合，定义域为，
a > 4时，x > 0.
a = 4时，x > 0. x 不等于2.
0 < a < 4时，x > 2 + (4-a)^(1/2), 或者，0 < x < 2 - (4-a)^(1/2);
a = 0时，x > 2 + (4)^(1/2) = 4。
a < 0时, x > 2 + (4-a)^(1/2)，或者，2 - (4-a)^(1/2) < x < 0。

这样，
a > 4时，x > 0. x + a/x - 4 >= 2a - 4 > 4,不符题意。

a = 4时，x > 0. x 不等于2. x + a/x - 4 >= 2a - 4 = 4,不符题意。

0 < a < 4时，x > 2 + (4-a)^(1/2), 或者，0 < x < 2 - (4-a)^(1/2);
x + a/x - 4 当x趋于+0或者正无穷时，趋于正无穷，
x + a/x - 4 当x趋于2 + (4-a)^(1/2)或者2 - (4-a)^(1/2)时，趋于+0，
x + a/x - 4可以取到（0，正无穷）上的任何值，符合题意。

a = 0时，x > 2 + (4)^(1/2) = 4。x + a/x - 4 = x - 4可以取到（0，正无穷）上的任何值，符合题意。

a < 0时, x > 2 + (4-a)^(1/2)，或者，2 - (4-a)^(1/2) < x < 0。
x + a/x - 4 当x趋于+0或者正无穷时，趋于正无穷，
x + a/x - 4 当x趋于2 + (4-a)^(1/2)或者2 - (4-a)^(1/2)时，趋于+0，
x + a/x - 4可以取到（0，正无穷）上的任何值，符合题意。

因此，a的取值范围是 a < 4.

Answer 2

由题可知 只要内层函数y=x+a/x-4的最小值大于或等于0即可
所以 2√a-4≥0∴a≥4

Answer 3

只要自变量能取到（0，+∞）即可，所以x+a／x-4能取到小于等于0的数即可，所以a≤4

Answer 4

只需要（x+a/x-4）>0即可，解可得：x>4或x<-a