Question

一道自认为超难的高中数学题

设函数f(x)=x^2e^(x-1)-1/3x^3-x^2，试用数学归纳法证明：当x∈（1，+∞）时，对于任意正整数n，e^(x-1)＞x^n/n！

Answer 1

当n=1时
z(x) = e^(x-1) - x
z1(x) = e^(x-1) -1 （为z(x)的一阶导数）
当x∈（1，+∞）时
z1(x) 恒递增 所以z1(x)>z1(1)=0
所以z(x)恒递增
z(x)>z(1)=0
也就是e^(x-1)＞x^n/n！在n=1时立
假充e^(x-1)＞x^n/n！在n=k时成立
即e^(x-1) > x^k/k!
e^(x-1) - x^k/k! >0
则当n=k+1时
z(x) = e^(x-1)-x^(k+1)/(k+1)！
z1(x) = e^(x-1) - (k+1)x^k/(k+1)!
= e^(x-1) - x^k/k!>0
由上一步n=k时的结论
当x∈（1，+∞）时
z1(x)恒大于0
所以z(x)恒递增
所以z(x)>z(1)= 1 -1^(k+1)/(k+1)！=1-1/(k+1)!>0
所以e^(x-1)＞x^(k+1)/(k+1)！
证毕，也许你对导数还不太熟悉，所以你会觉得难，由此也看出导数的重要性

Answer 2

留个邮箱，我做了给你发过来

Answer 3

高中做多了的题目