Question

高中数学 用向量证明三角形内心

在三角形ABC中，若a*OA向量+b*OB向量+c*OC向量=0向量，证明：O为三角形ABC内心。
在三角形ABC中，若a*OA向量+b*OB向量+c*OC向量=0向量，且a,b,c为三角形三个内角对应三边长，证明：O为三角形ABC内心。

Answer 1

在纸上先把图画出来，然后延长CO交AB于D: 以下全部为向量
所以OA=OD+DA,OB=OD+DB,依题意得：
aOA+bOB+cOC=0
所以，a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0
又因为，OD与OC共线，DA与DB共线，所以不妨设，OD=kOC
原式变为：(k(a+b)+c)OC+(aDA+bDB)=0
所以，aDA=-bDB,所以DA与DB的长度之比为b/a，所以CD为角平分线。同理可证其他的两条也是角平分线。

Answer 2

1.满足a×向量oA+b×向量oB+c×向量oC就行,abc为变长~用[AB]表示向量AB,c表示AB的长,下同.
[OA]=[OB]+[BA],∵a[OA]+b[OB]+c[OC]=0,∴[OA]={-b[OB]-c[OC]}/a=[OB]+[BA],∴(a+b)[OB]+c[OC]+a[BA]=0,(a+b){[OC]+[BC]}+[OC]+a[BA]=0,(a+b+c)[OC]+(a+b)[BC]+a[BA]=0,
(a+b+c)[OC]-a[AC]+b[CB]=0,
[OC]={a[AC]-b[CB]}/(a+b+c),
[OC]*[AC]={ab^2-b[CB]*[[AC]}/(a+b+c)=ab^2(1+cos∠C)/(a+b+c),∴cos∠OCA=ab(1+cos∠C)/{|OC|(a+b+c)},
同理得[OC]*[BC]=ba^2(1+cos∠C)/(a+b+c),
∴cos∠OCB=ab(1+cos∠C)/{|OC|(a+b+c)},
∴cos∠OCA=cos∠OCB,∴OC平分∠C,同理可证其他两式,
∴O为内心.
2.还有一种解法如下：
记∠BAC的平分线与BC交于P,则[BP]=（c/（b+c））[BC]
=（c/（b+c））{[OC]-[OB]},[AP]=[AB]+[BP]=[OB]-[OA]=[BP]
=[OB]-[OA]+（c/（b+c））{[OC]-[OB]}=（b/（b+c））[OB]+（c/（b+c））[OC]-[OA]=（b[OB]+c[OC]）/（b+c）-[OA]
=-（a+b+c）[OA]/（b+c）,∴[AP]与[OA]共线,O在AP上,
同理,O在∠ABC,∠ACB平分线上,∴O为内心.