Question

求解一高中数学三角函数题，急~~~

在三角形ABC中三个内角A,B,C及其对边a,b,c满足sin(A-B)/sin(A+B)=(b+c)/c,
1.求角A的大小
2.若a=6，求三角形ABC面积最大值

给下过程，谢谢

Answer 1

如果你知道正弦定理
(b+c)/c = (sinB + sinC)/sinC
= [sinB + sin(A+B)]/sin(A+B)
= sin(A-B)/sin(A+B)
所以sinB + sin(A+B) = sin(A-B)
sinB = sin(A-B) - sin(A+B)
= -2cosAsinB
1 = -2cosA
cosA = -1/2
又A是三角形的内角 所以 a = 120度
(2) S = (1/2)bcsinA
在这里我直接求bcsinA
而sinA是定值
直接球bc的最大值就行了(懒啊 没办法)
继续正弦定理(根号3用键盘上我不知道打，所以用x代替)
sinB/b = sinC/c = sinA/a = x/2a
b = 2asinB/x
c = 2asinC/x
bc = 4a^2sinBsinC/3
因为4a^2/3是定值，这里我再偷一下懒(三角公式我也忘了很多了，如果有什么不对的地方请包含)
我直接求sinBsinC的最大值 B+C = 60(这里的60是指角度，不是指弧度)
sinBsinC = sinBsin(60-B)
=(1/2)[cos(2B-60)-cos(60)]<=1/4
当cos(2B-60)=1时，面积最大，且cos(2B-60) = 1是有解的（如果无解又得讨论）就是B=30度时，这时候你会发现这个三角形非常特殊，是等腰三角形了
s = (1/2) ah = (1/2)*6*h=3h=3*a/2 *x/3 =3x也就是3倍根号3
(因为是等腰三角形 所以做a边的高，分成两个特殊的直角三角形，呵呵，这是纯几何方式，我们还是用原来已经推出来的方式求吧)
S = (1/2)bcsinA
= (1/2)(4a^2sinBsinC/3)*x/2
= (1/2)(4*36/12) * x/2
= x/4 * 12
= 3x (也就是3倍根号3)

这里帮你总结一下吧

这个题目最重要的地方是用到了正弦定理
这个定理，可以这样证明
三角形都有外接圆吧

然后通过任意一三角形顶点，连接圆心 交圆于另一点D,我在这假设从A点连的
这时候角 ABD是直角 而角D＝角C（这个好像叫圆周定理吧？？）
2r sinD是不是＝角C的对边 c?是吧 对边比斜边嘛
所以 c = 2rsinC
同理有a = 2rsinA
b = 2rsinB
还有三角形的另一个面积公式
s = (1/2) ab sinC
以a为底，做高，你会发现bsinC就是a上的高