Question

已知fx=ax2＋1除以bx＋c且abc是整数,f1=2,f2小于3,求abc

Answer 1

fx=(ax+1)/(bx+c), f1=(a+1)/(b+c)=2, f2=(4a+1)/(2b+c)＜3. ∴a=1, b=1, c=0. 追问： 如何得出a=1,b=2.谢谢 回答： 这是唯一的一组能符合f1=2, f2＜3的解。 补充： ∵fx=(ax+1)/(bx+c), ∴f1=(a+1)/(b+c)=2, f2=(4a+1)/(2b+c)＜3. ∵除了知道abc是整数，没有其他已知条件，∴只能试算。 假定a=2,那么为了满足f1=(a+1)/(b+c)=2,,分子a+1=3,分母b+c=1.5,b,c不能同时为整数，∴a≠2. 假定a=3,那么为了满足f1=(a+1)/(b+c)=2,分子a+1=4,分母b+c=2为了能符合f2,应该b尽量取大数，∴取b=2,c=0,代人f2=(4×3+1)/(2×2+0)=13/4＞3,与f2＜3矛盾，∴a≠3. 为了能同时满足f1,f2, a必须尽量取小数，∴取a=1,代人f1,分子a+1=2，那么分母b+c=1,为了能符合f2, b取大数1，c取小数0. 把a=1,b=1,c=0代人f1=(1+1)/(1+0)=2/1=2,把a=1,b=1,c=0代人f2=(4×1+1)/(2×1+0)=5/2＜3,能同时满足f1=2, f2＜3. 至此就能得出a=1,b=1,c=0.

Answer 2

解：f（x）=ax²＋1/(bx＋c)
∵ f（1）=(a ＋1)/(b+c)=2 ∴ a+1=2b+2c (1)
f（2）=(4a ＋1)/(2b+c)＜3 ∴ 4a+1＜6b+3c (2)
由（1）得 2b=a+1-2c代入（2）
4a+1＜3（a+1-2c）+3c
4a+1＜3a+3-3c
a+3c＜2
同理可得 2b+5c＜3
5a-6b＜1
由以上三个不等式推出： a=1
b=-2
c=3