Question

设数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n都有Sn=2an+n-3成立

Answer 1

1. 因为：Sn=2an+n-3，两边同时减去一个an，得到：Sn-an=an+n-3，也就是S(n-1)=an+n-3

2. 根据题目中知道：S(n-1)=2a(n-1)+n-1-3=2a(n-1)+n-4

   上式中括号内的n-1表示的是角标，下同。

3. 将上面两个式子右边相等，即可得到an+n-3=2a(n-1)+n-4，整理有an=2a(n-1)-1，两边同时减去1，得到an-1=2a(n-1)-2=2(a(n-1)-1)，即{an-1}是公比为2的等比数列。

4. 在所给式子中，令n=1，有S1=2a1+1-3，因为S1=a1，所有可以得到{an}的首项是2。那么{an-1}就是首项是2，公比是2的等比数列。根据等比数列通项公式可以求得：an-1=（a1 -1)*q^(n-1)=(2-1)*2^(n-1)=2^(n-1)，所以an=2^(n-1)+1

5. 利用差比数列错位相减法即可求得Tn
   

Answer 2

Answer 3

Sn = 2an +n-3
n=1
a1=2a1+1-3
an = 2

for n>=2
an = Sn -S(n-1)
=(2an+n-3) -(2a(n-1) +n-1-3)
=2an- 2a(n-1) +1
an =2a(n-1) -1
an - 1 = 2[ a(n-1) -1 ]
=> {an -1} 是等比数列， q=2
an -1 =2^(n-1) .(a1-1)
=2^(n-1)
an = 1+ 2^(n-1)

Answer 4