Question

如图，Rt△ACB中，AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于E点，求证：AD=2DF+CE

如图，Rt△ACB中，AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于E点，求证：AD=2DF+CE

Answer 1

证明：

在AF上取一点G，使GF=DF，连接CG。

∵Rt△ABC，AC=BC，

∴∠ACB=90°，∠B=∠BAC=45°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=22.5°，

∵CE⊥AD，

∴∠CFG=∠CFD=90°，

又∵GF=DF，CF=CF，

∴△CFG≌△CFD（SAS），

∴∠GCF=∠DCF，

∵∠DCF=∠CAD=22.5°（等角【∠ADC】的余角相等），

∴∠GCD=45°，

∴∠ACG=45°=∠B，

又∵∠CAG=∠BCE=22.5°，AC=BC，

∴△ACG≌△CBE（ASA），

∴AG=CE，

∴AD=DG+AG=2DF+CE。