Question

二次函数中三角形的面积最大问题？

抛物线Y=X2+bx+c与X轴交与A（1，0），B（-3，0）两点，（1）求抛物线的解析式，这个问题很简单，可是第2问，我就不会了。（2）、在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使三角形PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及三角形PBC的面积最大值。若没有，请说明理由。
题错了。有两个问题
1、抛物线是Y=-x^2+bx+c
2、C点是抛物线与Y轴的交点。。。。

Answer 1

第一问,带入点,得到b=-2，c=3,y=-x^2-2x+3
第二问,由直线可得C点是x=0，得到坐标是(0，3).
连结BC,那么P点到直线BC的距离即是三角形PBC边BC上的高h，
BC已知，只要h越大，其面积就越大。
过P点做BC的平行线l,则平行线间的距离就是三角形的高.
同时由BC方程可求,y=x+3,斜率为1，则l的斜率为1.
当P点到BC最远时,有最大的高,此时过P的直线与抛物线相切.
抛物线的导数y`=-2x-2.由l的斜率为1，有y`=1，x=-1.5
所以P点坐标是(-1.5，3.75)
P到BC的距离,利用点到直线距离公式(-1.5-3.75+3)/(1^2+(-1)^2)=-2.25/根号2的绝对值
BC长是3倍根号2
所以面积是2.25/根号2*3倍根号2*0.5=3.375

Answer 2

抛物线y=-x²+bx+c与x轴交与A(1，0)，B(-3，0)两点，与y轴交于C点；
(1)求抛物线的解析式；
(2)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使三角形PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及三角形PBC的面积最大值。若没有，请说明理由。
解：(1)由韦达定理易知：1+(-3)=-b/(-1)、(-1)×(-3)=c，
即b=-2、c=3，则y=-x²-2x+3；
(2)点B(-3，0)和点C(0，3)，则易知BC=3√2；

{提示：那么P点到直线BC的距离即是三角形PBC边BC上的高h，
BC距离确定，只要h越大，其面积就越大。
P点的找法是：用与BC平行的直线还在第二象限的抛物线上的前提下，
离BC越远h越大，很显然P点就是在与BC平行的直线与抛物线有且只有一个的那个交点。}

直线BC的直线直线方程为y=x+3，则设与BC平行的直线为y=x+k，
它与抛物线y=-x²-2x+3有且只有一个交点；
联立，消去y得：x²+3x+(k-3)=0，该方程有且只有一个根，
则△=3²-4×1×(k-3)=0，解得k=21/4；
则x²+3x+(9/4)=0，解得x=-3/2；则y=15/4；
即P(-3/2，15/4)距直线BC的距离为
h=|1×(-3/2)-(-1)×(15/4)+3|/√(1²+(-1)²)=9√2/8；
则S△PBC=BC×h/2=3√2×(9√2/8)/2=27/8。